Математический анализ Примеры

$\frac{x + 1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 1

Запишем $\frac{x + 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x + 1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 4.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Этап 4.1.3

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 4.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.6.2

Разделим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x + 1 = \frac{A (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.1.2

Разделим $(A) (x - 1)$ на $1$ .

$x + 1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.5.2

Разделим $(B) (x - 2)$ на $1$ .

$x + 1 = A x - A + (B) (x - 2)$

Этап 4.1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = A x - A + B x + B \cdot - 2$

Этап 4.1.7.7

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$x + 1 = A x - A + B x - 2 B$

Этап 4.1.8

Перенесем $- A$ .

$x + 1 = A x + B x - A - 2 B$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A - 2 B$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$1 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$1 = - 1 A - 2 B$

Этап 4.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 1 A - 2 B$ на $1 - B$ .

$1 = - 1 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим $- 1 (1 - B) - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 = - 1 - 1 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 = - 1 + 1 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.2.1.1.3.2

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = - 1 + B - 2 B$

$A = 1 - B$

$1 = - 1 + B - 2 B$

$A = 1 - B$

$1 = - 1 + B - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.2.1.2

Вычтем $2 B$ из $B$ .

$1 = - 1 - B$

$A = 1 - B$

$1 = - 1 - B$

$A = 1 - B$

$1 = - 1 - B$

$A = 1 - B$

$1 = - 1 - B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - 1 - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 - B = 1$ .

$- 1 - B = 1$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- B = 1 + 1$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- B = 2$

$A = 1 - B$

$- B = 2$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.3

Разделим каждый член $- B = 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Разделим каждый член $- B = 2$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{2}{- 1}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.3.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{2}{- 1}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 1}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $- 2$ .

$A = 1 - (- 2)$

$B = - 2$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Упростим $1 - (- 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 2$

Этап 4.3.4.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$A = 3, B = - 2$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{3}{x - 2} + \frac{- 2}{x - 1}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{3}{x - 2} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 7

Пусть $u_{1} = x - 2$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{1} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 7.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) - (2 \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Этап 11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 12

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$3 \ln (| u_{1} |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 2$ .

$3 \ln (| x - 2 |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$3 \ln (| x - 2 |) - 2 \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x - 2 |) - 2 \ln (| x - 1 |) + C$