Математический анализ Примеры

$y = x \ln (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \ln (x))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \ln (y)$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x$ .

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.3.3

Умножим $\frac{d}{d y} [x]$ на $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' + \ln (x) x'$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$\ln (x) x' + x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \ln (x) x' + x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (x) x' + x' = 1$ .

$\ln (x) x' + x' = 1$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $\ln (x) x' + x'$ .

$x' \ln (x) + x' = 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' \ln (x) + x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x'$ из $x' \ln (x)$ .

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Этап 5.3.2

Возведем $x'$ в степень $1$ .

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из ${x'}^{1}$ .

$x' (\ln (x)) + x' \cdot 1 = 1$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $x'$ из $x' (\ln (x)) + x' \cdot 1$ .

$x' (\ln (x) + 1) = 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' (\ln (x) + 1) = 1$ на $\ln (x) + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' (\ln (x) + 1) = 1$ на $\ln (x) + 1$ .

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$