Математический анализ Примеры

$\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Этап 1

Запишем $\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 10

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 12.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

Этап 12.2.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C$

Этап 12.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C$

Этап 12.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Этап 12.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C$

Этап 12.2.3.2.4

Разделим $- x^{3}$ на $1$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$