Математический анализ Примеры

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.2.5

Перенесем $4$ влево от $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{2}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \cos (4 x) - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \cos (4 x) - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.4.3

Умножим $9$ на $1$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.5

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + 0$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ и $0$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$- 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$