Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{3 \ln (3 x - 2)}{5 x - 5}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{3 \ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 \ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 \ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.2.3.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 5}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{3 \ln (3 x - 2)}{5 x - 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (3 x - 2)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{3 x - 2}$ и $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.8

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.10

Добавим $3$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.11

Объединим $\frac{3}{3 x - 2}$ и $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.12

Умножим $3$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Этап 3.13

По правилу суммы производная $5 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 3.14

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 3.14.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 3.14.3

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 3.15

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 + 0}$

Этап 3.16

Добавим $5$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{9}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{9}{3 x - 2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9}{(3 x - 2) \cdot 5}$

Этап 5.2

Вынесем член $\frac{9}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{9}{5} lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x - 2}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2}$

Этап 5.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2}$

Этап 5.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2}$

Этап 5.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}$

Этап 5.7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 - 1 \cdot 2}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 - 2}$

Этап 7.1.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{5} \cdot 1$

Этап 7.3

Умножим $\frac{9}{5}$ на $1$ .

$\frac{9}{5}$