Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{5} + 1}{x + x^{3}}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{5}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 x^{5}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.4

Разделим $4 x^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + 1}$

Этап 3

Когда $x$ стремится к $- \infty$ , дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 0}{\frac{1}{x^{2}} + 1}$

Этап 4

Когда $x$ стремится к $- \infty$ , дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 0}{0 + 1}$

Этап 5

Так как числитель не ограничен, когда знаменатель стремится к постоянному числу, дробь $\frac{4 x^{2} + 0}{0 + 1}$ стремится к бесконечности.

$\infty$