Математический анализ Примеры

$\tan^{2} (2 x)$

Этап 1

Запишем $\tan^{2} (2 x)$ в виде функции.

$f (x) = \tan^{2} (2 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \tan^{2} (2 x) d x$

Этап 4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \tan^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Объединим $\tan^{2} (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u)}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u) d u$

Этап 7

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (u)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Этап 10

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} (- u + C + \tan (u) + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{2} (- u + \tan (u)) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- (2 x) + \tan (2 x)) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 x + \tan (2 x)) + C$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Этап 13.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Этап 13.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Этап 13.3.3

Перепишем это выражение.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Этап 13.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (2 x)$ .

$- x + \frac{\tan (2 x)}{2} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$