Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 + \cos (x)}{x + \sin (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + \sin (x)$ . Тогда $d u = (1 + \cos (x)) d x$ , следовательно $\frac{1}{1 + \cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $x + \sin (x)$ .

$\ln (| x + \sin (x) |) + C$