Математический анализ Примеры

$\tan (x) \sin (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \sin (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\cos (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2.1.2

Выразим $\cos (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2.1.3

Сократим общие множители.

$\sin (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Этап 4.2.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

Этап 4.2.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Этап 4.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\sin (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Этап 4.2.5

Объединим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 4.3.2

Разделим дроби.

$\sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 4.3.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 4.3.4

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sin (x) + \sec (x) \tan (x)$