Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{2} - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4

Развернем $(x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\int x^{\frac{6 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$\int x^{\frac{5}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{\frac{5}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$