Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 28 x^{2} + 18$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 28 x^{2} + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{- 4}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $- 2 x^{3}$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 x^{2}$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $28$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ и $0$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [56 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (56 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [56 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $56$ является константой относительно $x$ , производная $56 x$ по $x$ равна $56 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 56 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 56 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $56$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 56$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$f' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 4 (\frac{1}{2}) \cdot x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{- 4}{2}$ и $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $- 2 x^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 x^{2}$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $28$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} (18)$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 56 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $6 x^{2}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) + 56 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 2 x$ из $56 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot - 28 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 3 x)$ .

$- 2 x (x^{2} - 3 x) - 2 x \cdot - 28 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{2} - 3 x) - 2 x (- 28)$ .

$- 2 x (x^{2} - 3 x - 28) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 28$ , а сумма — $- 3$ .

$- 7, 4$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 x ((x - 7) (x + 4)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 x (x - 7) (x + 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 5.6

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 x (x - 7) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, 7, - 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 7, - 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 {(0)}^{2} + 12 (0) + 56$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 6 \cdot 0 + 12 (0) + 56$

Этап 9.1.2

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 12 (0) + 56$

Этап 9.1.3

Умножим $12$ на $0$ .

$0 + 0 + 56$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 56$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $56$ .

$56$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{2}) + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

Этап 11.2.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 + 28 {(0)}^{2} + 18$

Этап 11.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 28 {(0)}^{2} + 18$

Этап 11.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 28 \cdot 0 + 18$

Этап 11.2.1.6

Умножим $28$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 18$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 18$

Этап 11.2.2.3

Добавим $0$ и $18$ .

$f (0) = 18$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $18$ .

$y = 18$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 7$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 {(7)}^{2} + 12 (7) + 56$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$- 6 \cdot 49 + 12 (7) + 56$

Этап 13.1.2

Умножим $- 6$ на $49$ .

$- 294 + 12 (7) + 56$

Этап 13.1.3

Умножим $12$ на $7$ .

$- 294 + 84 + 56$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 294$ и $84$ .

$- 210 + 56$

Этап 13.2.2

Добавим $- 210$ и $56$ .

$- 154$

Этап 14

$x = 7$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 7$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = - \frac{1}{2} \cdot {(7)}^{4} + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $7$ в степень $4$ .

$f (7) = - \frac{1}{2} \cdot 2401 + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Этап 15.2.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 2401$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Умножим $2401$ на $- 1$ .

$f (7) = - 2401 (\frac{1}{2}) + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Этап 15.2.1.2.2

Объединим $- 2401$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (7) = \frac{- 2401}{2} + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Этап 15.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Этап 15.2.1.4

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 2 \cdot 343 + 28 {(7)}^{2} + 18$

Этап 15.2.1.5

Умножим $2$ на $343$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 686 + 28 {(7)}^{2} + 18$

Этап 15.2.1.6

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 686 + 28 \cdot 49 + 18$

Этап 15.2.1.7

Умножим $28$ на $49$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 686 + 1372 + 18$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем $686$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686}{1} + 1372 + 18$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{686}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1372 + 18$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{686}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + 1372 + 18$

Этап 15.2.2.4

Запишем $1372$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372}{1} + 18$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{1372}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372}{1} \cdot \frac{2}{2} + 18$

Этап 15.2.2.6

Умножим $\frac{1372}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + 18$

Этап 15.2.2.7

Запишем $18$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + \frac{18}{1}$

Этап 15.2.2.8

Умножим $\frac{18}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + \frac{18}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 15.2.2.9

Умножим $\frac{18}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (7) = \frac{- 2401 + 686 \cdot 2 + 1372 \cdot 2 + 18 \cdot 2}{2}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $686$ на $2$ .

$f (7) = \frac{- 2401 + 1372 + 1372 \cdot 2 + 18 \cdot 2}{2}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $1372$ на $2$ .

$f (7) = \frac{- 2401 + 1372 + 2744 + 18 \cdot 2}{2}$

Этап 15.2.4.3

Умножим $18$ на $2$ .

$f (7) = \frac{- 2401 + 1372 + 2744 + 36}{2}$

Этап 15.2.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Добавим $- 2401$ и $1372$ .

$f (7) = \frac{- 1029 + 2744 + 36}{2}$

Этап 15.2.5.2

Добавим $- 1029$ и $2744$ .

$f (7) = \frac{1715 + 36}{2}$

Этап 15.2.5.3

Добавим $1715$ и $36$ .

$f (7) = \frac{1751}{2}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1751}{2}$ .

$y = \frac{1751}{2}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) + 56$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$- 6 \cdot 16 + 12 (- 4) + 56$

Этап 17.1.2

Умножим $- 6$ на $16$ .

$- 96 + 12 (- 4) + 56$

Этап 17.1.3

Умножим $12$ на $- 4$ .

$- 96 - 48 + 56$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $48$ из $- 96$ .

$- 144 + 56$

Этап 17.2.2

Добавим $- 144$ и $56$ .

$- 88$

Этап 18

$x = - 4$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 4$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f (- 4) = - \frac{1}{2} \cdot 256 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Этап 19.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (- 4) = \frac{- 1}{2} \cdot 256 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Этап 19.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $256$ .

$f (- 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (128)) + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Этап 19.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 128) + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Этап 19.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 4) = - 1 \cdot 128 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Этап 19.2.1.3

Умножим $- 1$ на $128$ .

$f (- 4) = - 128 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Этап 19.2.1.4

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f (- 4) = - 128 + 2 \cdot - 64 + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Этап 19.2.1.5

Умножим $2$ на $- 64$ .

$f (- 4) = - 128 - 128 + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Этап 19.2.1.6

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = - 128 - 128 + 28 \cdot 16 + 18$

Этап 19.2.1.7

Умножим $28$ на $16$ .

$f (- 4) = - 128 - 128 + 448 + 18$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $128$ из $- 128$ .

$f (- 4) = - 256 + 448 + 18$

Этап 19.2.2.2

Добавим $- 256$ и $448$ .

$f (- 4) = 192 + 18$

Этап 19.2.2.3

Добавим $192$ и $18$ .

$f (- 4) = 210$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $210$ .

$y = 210$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 28 x^{2} + 18$ .

$(0, 18)$ — локальный минимум

$(7, \frac{1751}{2})$ — локальный максимум

$(- 4, 210)$ — локальный максимум

Этап 21