Математический анализ Примеры

$y = x \ln (x) - x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \ln (x) - x)$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x \ln (x) - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.5.2

Перепишем это выражение.

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.6

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + \ln (x) - 1$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 + \ln (x)$

Этап 3.4.2

Добавим $0$ и $\ln (x)$ .

$\ln (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \ln (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$