Математический анализ Примеры

$y = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.2.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.2.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{- x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.3.10

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

Этап 3.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

Этап 3.4.7

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Этап 3.4.8

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Этап 3.5.2.2

Добавим $- e^{- x}$ и $2 e^{- x}$ .

$- 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Этап 3.5.2.3

Добавим $- 2 x e^{- x}$ и $e^{- x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Этап 3.5.2.3.2

Добавим $- 2 x e^{- x}$ и $2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

Этап 3.5.2.4

Добавим $e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ и $0$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

Этап 3.5.4

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$