Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} - 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1 - 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $3$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Перенесем $3^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Умножим $3^{\frac{3}{2}}$ на $3^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перенесем $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.6.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Этап 6.2.8

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

Этап 6.2.9

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

Этап 6.2.10

Добавим $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.11

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.12

Объединим $\frac{2}{2}$ и $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 6.2.13

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 6.2.14

Разделим $3^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$3^{\frac{1}{2}}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3^{\frac{1}{2}}$

Десятичная форма:

$1.73205080 \dots$

Этап 8