Математический анализ Примеры

$| x | + 2 | 1 - x |$

Этап 1

По правилу суммы производная $| x | + 2 | 1 - x |$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Этап 2

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 | 1 - x |$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 3.2.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1 \cdot 1))$

Этап 3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1))$

Этап 3.8

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \cdot - 1)$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ и $- 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{(1 - x) \cdot - 1}{| 1 - x |}$

Этап 3.10

Перенесем $- 1$ влево от $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| 1 - x |}$

Этап 3.11

Перепишем $- 1 (1 - x)$ в виде $- (1 - x)$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- (1 - x)}{| 1 - x |}$

Этап 3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{| x |} + 2 (- \frac{1 - x}{| 1 - x |})$

Этап 3.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x}{| x |} - 2 \frac{1 - x}{| 1 - x |}$

Этап 3.14

Объединим $- 2$ и $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Этап 3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$