Математический анализ Примеры

$f (x) = 1 - \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 1 - \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C - \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$x + C - \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C - \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x + C - \int x^{- 4} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$x + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$x + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Этап 8.1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Этап 8.2

Упростим.

$x + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 1 - \frac{1}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{3 x^{3}} + C$