Математический анализ Примеры

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $4 y y'$ и $0$ .

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

Этап 3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $4 y y'$ .

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.4

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Изменим порядок членов.

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.5.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u$ .

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.5.2.2

Запишем $4$ как $1$ плюс $3$

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.5.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.5.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

Этап 5.5.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 u + 1$ .

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

Этап 5.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Этап 5.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.7

Разделим каждый член $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ на $(- 3 y + 1) (y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ на $(- 3 y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $- 3 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.2.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

Этап 5.7.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.5.1

Перепишем $- (3 y - 1)$ в виде $- 1 (3 y - 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 5.7.3.5.4

Умножим $\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$