Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - \cos (x)$ . Тогда $d u = \sin (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$0 + \sin (x)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

Этап 1.5.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.5.1.3

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - - 1$

Этап 1.5.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Этап 3.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Этап 3.2.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 0$

Этап 3.2.6

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{3}$

Десятичная форма:

$2.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{2}{3}$