Математический анализ Примеры

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (h - \frac{4 h}{b^{2}} x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 h}{b^{2}} \cdot x^{2} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4 h}{b^{2}}$ .

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{x^{2} (4 h)}{b^{2}} d x$

Этап 2.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h d x + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{4 h}{b^{2}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{4 h}{b^{2}}$ из-под знака интеграла.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - (\frac{4 h}{b^{2}} \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{1}{3} x^{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

Этап 8.1.2

Объединим $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ и $\frac{4 h}{b^{2}}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (4 h)}{b^{2}}$

Этап 8.1.3

Перенесем $4$ влево от $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $h x$ в $\frac{b}{2}$ и в $- \frac{b}{2}$ .

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $\frac{b}{2}$ и в $- \frac{b}{2}$ .

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим $h$ и $\frac{b}{2}$ .

$\frac{h b}{2} - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{h b}{2} + 1 h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.3

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{h b}{2} + h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.4

Объединим $h$ и $\frac{b}{2}$ .

$\frac{h b}{2} + \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.5

Добавим $\frac{h b}{2}$ и $\frac{h b}{2}$ .

$2 \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.6

Объединим $2$ и $\frac{h b}{2}$ .

$\frac{2 (h b)}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.7.2

Разделим $h b$ на $1$ .

$h b - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{b}{2}$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- (\frac{b}{2}))}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.9

Применим правило умножения к $- (\frac{b}{2})$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{- {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - - \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + 1 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.13

Умножим $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ на $1$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.14

Добавим $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ и $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ .

$h b - \frac{4 (2 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Этап 8.2.3.15

Умножим $2$ на $4$ .

$h b - \frac{8 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$h b - \frac{8 (\frac{1}{3}) {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{3}$ .

$h b - \frac{\frac{8}{3} {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

Этап 9.1.2

Объединим $\frac{8}{3}$ и ${(\frac{1}{2} b)}^{3}$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

Этап 9.1.3

Объединим $\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3}$ и $h$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $b$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{b}{2})}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Этап 9.2.2

Применим правило умножения к $\frac{b}{2}$ .

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{2^{3}} h}{3}}{b^{2}}$

Этап 9.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

Этап 9.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Объединим $8$ и $\frac{b^{3}}{8}$ .

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

Этап 9.2.4.2

Объединим $\frac{8 b^{3}}{8}$ и $h$ .

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

Этап 9.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Сократим выражение $\frac{8 b^{3} h}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1.1

Сократим общий множитель.

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

Этап 9.2.5.1.2

Перепишем это выражение.

$h b - \frac{\frac{\frac{b^{3} h}{1}}{3}}{b^{2}}$

Этап 9.2.5.2

Разделим $b^{3} h$ на $1$ .

$h b - \frac{\frac{b^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Этап 9.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$h b - (\frac{b^{3} h}{3} \cdot \frac{1}{b^{2}})$

Этап 9.4

Объединим.

$h b - \frac{b^{3} h \cdot 1}{3 b^{2}}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $b^{3}$ и $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{3} h \cdot 1$ .

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{3 b^{2}}$

Этап 9.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $3 b^{2}$ .

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

Этап 9.5.2.2

Сократим общий множитель.

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

Этап 9.5.2.3

Перепишем это выражение.

$h b - \frac{b h \cdot 1}{3}$

Этап 9.6

Умножим $b$ на $1$ .

$h b - \frac{b h}{3}$