Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{4 - 9 x^{2}}{2 - 3 x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{2}{3}} 4 - 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{2}{3}} 4 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 9 lim_{x \to \frac{2}{3}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 - 9 {(lim_{x \to \frac{2}{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{2}{3}$ для $x$ .

$\frac{4 - 9 {(\frac{2}{3})}^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 - 9 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 - 9 \frac{4}{3^{2}}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{4 - 9 (\frac{4}{9})}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\frac{4 + 9 (- 1) \frac{4}{9}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 + 9 \cdot - 1 \frac{4}{9}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 3 x}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 3 x}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 - 3 lim_{x \to \frac{2}{3}} x}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{2}{3}$ для $x$ .

$\frac{0}{2 - 3 (\frac{2}{3})}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{0}{2 + 3 (- 1) \frac{2}{3}}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{2 + 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}}$

Этап 1.1.3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{4 - 9 x^{2}}{2 - 3 x} = lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4 - 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4 - 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $4 - 9 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 9 (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 18 x}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $18 x$ из $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $2 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3 \cdot 1}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3}$

Этап 1.3.9

Вычтем $3$ из $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{- 3}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $- 18$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 18 x$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3 (1)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{6 x}{1}$

Этап 1.4.2.4

Разделим $6 x$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} 6 x$

Этап 2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 lim_{x \to \frac{2}{3}} x$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{2}{3}$ для $x$ .

$6 (\frac{2}{3})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{2}{3}$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{2}{3}$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4$