Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - \cos (x)$ . Тогда $d u = \sin (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$0 + \sin (x)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

Этап 3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $1$ и в $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Этап 5.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Этап 6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные