Математический анализ Примеры

$y = x^{2} (x - 1)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x - 1))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{2} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} + (x - 1) (2 x)$

Этап 3.2.6

Перенесем $2$ влево от $x - 1$ .

$x^{2} + 2 \cdot (x - 1) x$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 1) x$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} + 2 x^{2} - 2 x$

Этап 3.3.3.6

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 3 x^{2} - 2 x$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 2 x$