Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{3 x^{3} + 6} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 x^{3} + 6$ . Тогда $d u = 9 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 x^{3} + 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x^{3} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{3} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$9 x^{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{3} + 6$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 6$

Этап 1.3.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $6$ .

$u_{lower} = 6$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{3} + 6$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 6$

Этап 1.5.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$u_{upper} = 3 + 6$

Этап 1.5.2

Добавим $3$ и $6$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 9$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{6}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{9} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{9}$ .

$\int_{6}^{9} \frac{\sqrt{u}}{9} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{6}^{9}$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $6$ .

$\frac{1}{9} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.2

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Объединим $6^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{6^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Этап 6.4.2

Перенесем $2$ влево от $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{9} \cdot (18 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Десятичная форма:

$0.91133789 \dots$