Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x \sqrt{16 x^{2} - 5}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ положительно.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $\frac{\sqrt{5}}{4}$ и $\sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4})}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(\sqrt{5} \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.2.2

Применим правило умножения к $\sqrt{5} \sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{\sqrt{5}}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.3

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{1} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.5

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t)) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.6

Изменим порядок $5$ и $\tan^{2} (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{\sqrt{5}}{4}$ и $\sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4} (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.2

Объединим $\tan (t)$ и $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4} \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4}$ и $\sqrt{5}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t)) \sqrt{5}}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.4

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.5

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1 + 1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.8

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.8.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.8.5

Найдем экспоненту.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5 \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.9

Перенесем $5$ влево от $\tan (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{5 \cdot \tan (t) \sec (t)}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.10

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{5 \tan (t) \sec (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} 1 \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.11

Умножим $\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ на $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.12

Умножим $\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ на $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{5 \tan (t) \sec (t) \cdot 4} d t$

Этап 2.2.13

Умножим $4$ на $5$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{20 \tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Вынесем множитель $4$ из $20 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

Этап 2.2.14.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

Этап 2.2.14.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.15

Сократим общий множитель $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.15.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

Этап 2.2.16

Сократим общий множитель $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.16.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

Этап 2.2.16.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5}}{5} d t$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{\sqrt{5}}{5} t]_{0.97759655}^{1.4305831}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{\sqrt{5}}{5} t$ в $1.4305831$ и в $0.97759655$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 1.4305831) - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{\sqrt{5}}{5}$ и $1.4305831$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 1.4305831}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

Этап 4.2.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1.4305831$ .

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

Этап 4.2.3

Умножим $0.97759655$ на $- 1$ .

$\frac{3.19888106}{5} - 0.97759655 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 4.2.4

Объединим $- 0.97759655$ и $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 0.97759655 \sqrt{5}}{5}$

Этап 4.2.5

Умножим $- 0.97759655$ на $\sqrt{5}$ .

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 2.18597234}{5}$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{2.18597234}{5}$

Этап 4.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3.19888106 - 2.18597234}{5}$

Этап 4.2.8

Вычтем $2.18597234$ из $3.19888106$ .

$\frac{1.01290872}{5}$

Этап 5

Разделим $1.01290872$ на $5$ .

$0.20258174$

Этап 6