Математический анализ Примеры

$\int x (x^{2} - 2) \cdot 15 d x$

Этап 1

Перенесем $15$ влево от $x (x^{2} - 2)$ .

$\int 15 x (x^{2} - 2) d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2} - 2$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2} - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 15 u \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $15$ .

$\int \frac{15}{2} u d u$

Этап 3.2

Объединим $\frac{15}{2}$ и $u$ .

$\int \frac{15 u}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{15}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{15}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{15}{2} \int u d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{15}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{15}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15}{4} u^{2} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2$ .

$\frac{15}{4} {(x^{2} - 2)}^{2} + C$