Математический анализ Примеры

$x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3} = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - 4 y' + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} y')$

Этап 2.4.4

Умножим $3$ на $3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 9 y^{2} y'$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y'$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $9 y^{2} y' - 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $9 y^{2} y'$ .

$y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 3 x^{2} - 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (9 y^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Этап 5.3

Перепишем $9 y^{2}$ в виде ${(3 y)}^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Этап 5.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = - 3 x^{2} - 1$

Этап 5.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 y$ и $b = 2$ .

$y' ((3 y + 2) (3 y - 2)) = - 3 x^{2} - 1$

Этап 5.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ на $(3 y + 2) (3 y - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ на $(3 y + 2) (3 y - 2)$ .

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $3 y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 5.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель $3 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 5.6.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 5.6.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$