Математический анализ Примеры

$\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{2}{15}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{15} x^{6}$ по $x$ равна $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.3

Объединим $6$ и $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{12}{15}$ и $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{5}$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{4}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 (4 x^{3})$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{5}}{5}$ по $x$ равна $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2.3

Объединим $5$ и $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2.4

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{20}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2.6

Сократим общий множитель $20$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.2.6.2.4

Разделим $4 x^{4}$ на $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{4} - 12 (3 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} - 36 x^{2}$