Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 12 x^{2} + 6$ и $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 6 x + 2$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 2 (2 x^{3}) + 6 x + 2 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $6 x$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) + 2 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $2$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $2 x^{3} - 3 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 5.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5$

Этап 5.2.2.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 1$

Этап 5.2.2.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

Этап 5.2.2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 1$

Этап 5.2.2.1.3.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Этап 5.2.2.1.3.5

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1 - 1$

Этап 5.2.2.1.3.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 5.2.2.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 3 x - 1}{x + 1}$

Этап 5.2.2.1.5

Разделим $2 x^{3} - 3 x - 1$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 5.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Этап 5.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 5.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 5.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 5.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 5.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Этап 5.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Этап 5.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Этап 5.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Этап 5.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 1$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Этап 5.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Этап 5.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 2 x - 1$

Этап 5.2.2.1.6

Запишем $2 x^{3} - 3 x - 1$ в виде набора множителей.

$- 2 ((x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.5

Приравняем $2 x^{2} - 2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $2 x^{2} - 2 x - 1$ к $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.3.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 5.5.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.4.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 5.5.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.5.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 5.5.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 6$

Этап 9.1.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$- 12 + 6$

Этап 9.2

Добавим $- 12$ и $6$ .

$- 6$

Этап 10

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 11.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 11.2.1.1.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 11.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 \cdot 1 + 2 (- 1)$

Этап 11.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 + 2 (- 1)$

Этап 11.2.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 - 2$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- 1) = 2 - 2$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (- 1) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

Этап 13.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Этап 13.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Этап 13.1.3.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Этап 13.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 3 {(1 + \sqrt{3})}^{2} + 6$

Этап 13.1.4

Перепишем ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$- 3 ((1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})) + 6$

Этап 13.1.5

Развернем $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

Этап 13.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

Этап 13.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- 3 (1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.6.1.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.6.1.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.6.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 6$

Этап 13.1.6.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 6$

Этап 13.1.6.1.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 6$

Этап 13.1.6.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) + 6$

Этап 13.1.6.2

Добавим $1$ и $3$ .

$- 3 (4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.6.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$- 3 (4 + 2 \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 \cdot 4 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.8

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- 12 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.9

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 12 - 6 \sqrt{3} + 6$

Этап 13.2

Добавим $- 12$ и $6$ .

$- 6 - 6 \sqrt{3}$

Этап 14

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.5

Умножим $6$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.7

Умножим $6$ на $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.8

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.9

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.11

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.11.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.11.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.13

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.14

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.14.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.14.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.14.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.14.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.14.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.14.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.14.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.4.15

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.5

Добавим $1$ и $18$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.6

Добавим $19$ и $9$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.7

Добавим $4 \sqrt{3}$ и $12 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.8

Сократим общий множитель $28 + 16 \sqrt{3}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.8.2

Вынесем множитель $4$ из $16 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.8.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.11

Перепишем ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.12

Развернем $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.13.1.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.13.1.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.13.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.13.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.13.1.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.13.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.13.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.13.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.14

Сократим общий множитель $4 + 2 \sqrt{3}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.14.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.14.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.14.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.14.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.14.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 + \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.15

Объединим $3$ и $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.16.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.16.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 + 4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5.5

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (6 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5.7

Умножим $6$ на $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5.8

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5.9

Добавим $- 7$ и $12$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.5.10

Добавим $- 4 \sqrt{3}$ и $6 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Этап 15.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} + \sqrt{3}$

Этап 15.2.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3} + 4}{4} + \sqrt{3}$

Этап 15.2.6.3

Добавим $5$ и $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3}$

Этап 15.2.7

Чтобы записать $\sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 15.2.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.8.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.9.1

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{3}}{4}$

Этап 15.2.9.2

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Этап 15.2.10

Окончательный ответ: $\frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

Этап 17.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Этап 17.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Этап 17.1.3.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Этап 17.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 3 {(1 - \sqrt{3})}^{2} + 6$

Этап 17.1.4

Перепишем ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$- 3 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})) + 6$

Этап 17.1.5

Развернем $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

Этап 17.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

Этап 17.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Этап 17.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- 3 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Этап 17.1.6.1.2

Умножим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Этап 17.1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Этап 17.1.6.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Этап 17.1.6.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Этап 17.1.6.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6$

Этап 17.1.6.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6$

Этап 17.1.6.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 6$

Этап 17.1.6.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 6$

Этап 17.1.6.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 6$

Этап 17.1.6.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 6$

Этап 17.1.6.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

Этап 17.1.6.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

Этап 17.1.6.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}) + 6$

Этап 17.1.6.1.5.5

Найдем экспоненту.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) + 6$

Этап 17.1.6.2

Добавим $1$ и $3$ .

$- 3 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}) + 6$

Этап 17.1.6.3

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$- 3 (4 - 2 \sqrt{3}) + 6$

Этап 17.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 \cdot 4 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Этап 17.1.8

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- 12 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Этап 17.1.9

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$- 12 + 6 \sqrt{3} + 6$

Этап 17.2

Добавим $- 12$ и $6$ .

$- 6 + 6 \sqrt{3}$

Этап 18

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.5

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.6

Умножим $6$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.9

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.10.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 19.2.1.4.10.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.10.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.11

Умножим $6$ на $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.12

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.13

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.15

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.16

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.17

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.17.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.17.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.18

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.19

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.20

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.21

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.22

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.23

Умножим ${\sqrt{3}}^{4}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.24

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.24.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.24.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.24.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.24.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.24.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.24.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.24.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.24.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.24.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.24.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.4.25

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.5

Добавим $1$ и $18$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.6

Добавим $19$ и $9$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.7

Вычтем $12 \sqrt{3}$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.8

Сократим общий множитель $28 - 16 \sqrt{3}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.8.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.8.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.11

Перепишем ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.12

Развернем $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.13.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.2

Умножим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.13.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.13.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.13.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.13.3

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.14

Сократим общий множитель $4 - 2 \sqrt{3}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.14.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.14.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.14.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.14.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.14.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.14.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.14.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 - \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.15

Объединим $3$ и $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.16.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 19.2.1.16.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.2

Чтобы записать $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1

Умножим $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 - 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.5

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 - 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.8

Умножим $6$ на $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.9

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.10

Добавим $- 7$ и $12$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.5.11

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Этап 19.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.6.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} - \sqrt{3}$

Этап 19.2.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3} + 4}{4} - \sqrt{3}$

Этап 19.2.6.3

Добавим $5$ и $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3}$

Этап 19.2.7

Чтобы записать $- \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 19.2.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.8.1

Объединим $- \sqrt{3}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Этап 19.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Этап 19.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.9.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}{4}$

Этап 19.2.9.2

Вычтем $4 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Этап 19.2.10

Окончательный ответ: $\frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ .

$(- 1, 0)$ — локальный максимум

$(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4})$ — локальный максимум

$(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4})$ — локальный минимум

Этап 21