Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(- 4 + x)}^{2} - 16}{- 2 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{- 2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{{(- 4 + x)}^{2} - 16}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(- 4 + x)}^{2} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(- 4 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(- 4 + x)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} - 4 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.5

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 4 + 0)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 4 + 0)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Добавим $- 4$ и $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{{(- 4 + x)}^{2} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 4 + x)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 4 + x)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

Перепишем ${(- 4 + x)}^{2}$ в виде $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(- 4 + x) (- 4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Развернем $(- 4 + x) (- 4 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 4 x - 4 x + x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

По правилу суммы производная $16 - 8 x + x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.1

Вычтем $8$ из $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10.1.2

Добавим $- 8 + 2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 8}{1}$

Этап 2.4

Разделим $2 x - 8$ на $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} 2 x - 8$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 2} (lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 8)$

Этап 3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 2} (2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 8)$

Этап 3.3

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 8)$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 8)$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 8)$

Этап 5.3

Вычтем $8$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 8$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2} \cdot - 8$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 4))$

Этап 5.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 4)$

Этап 5.4.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot - 4$

Этап 5.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$4$