Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} (4 x^{2} + \sqrt{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} + \sqrt{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 7.2

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$4 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$4 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{64 - 1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.4

Вычтем $1$ из $64$ .

$4 (\frac{63}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.5

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$4 \frac{3 \cdot 21}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{21}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.5.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$4 \cdot 21 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.6

Умножим $4$ на $21$ .

$84 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$84 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$84 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.9.1

Сократим общий множитель.

$84 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.9.2

Перепишем это выражение.

$84 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$84 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$84 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.12

Умножим $2$ на $8$ .

$84 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.13

Единица в любой степени равна единице.

$84 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 7.3.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$84 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 7.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$84 + \frac{16 - 2}{3}$

Этап 7.3.16

Вычтем $2$ из $16$ .

$84 + \frac{14}{3}$

Этап 7.3.17

Чтобы записать $84$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$84 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

Этап 7.3.18

Объединим $84$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{84 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

Этап 7.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{84 \cdot 3 + 14}{3}$

Этап 7.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.20.1

Умножим $84$ на $3$ .

$\frac{252 + 14}{3}$

Этап 7.3.20.2

Добавим $252$ и $14$ .

$\frac{266}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{266}{3}$

Десятичная форма:

$88.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$88 \frac{2}{3}$

Этап 9