Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{e^{(a + 1) x}}{a}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{e^{(a + 1) x}}{a} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{a}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{a}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{a} \int e^{(a + 1) x} d x$

Этап 4

Пусть $u = (a + 1) x$ . Тогда $d u = (a + 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{a + 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = (a + 1) x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $(a + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(a + 1) x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $a + 1$ является константой относительно $x$ , производная $(a + 1) x$ по $x$ равна $(a + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(a + 1) \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $a + 1$ на $1$ .

$a + 1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{a} \int e^{u} \frac{1}{a + 1} d u$

Этап 5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{a + 1}$ .

$\frac{1}{a} \int \frac{e^{u}}{a + 1} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{a + 1}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{a + 1}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{a} (\frac{1}{a + 1} \int e^{u} d u)$

Этап 7

Умножим $\frac{1}{a + 1}$ на $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{(a + 1) a} \int e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{(a + 1) a} (e^{u} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{1}{(a + 1) a} e^{u} + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{(a + 1) a}$ и $e^{u}$ .

$\frac{e^{u}}{(a + 1) a} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $(a + 1) x$ .

$\frac{e^{(a + 1) x}}{(a + 1) a} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{e^{(a + 1) x}}{a}$ .

$F (x) =$ $\frac{e^{(a + 1) x}}{(a + 1) a} + C$