Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{2 x + 1})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $2 x + 1$ на $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8.3

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{0 + 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$