Математический анализ Примеры

$\int (\frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - 2 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} - 2 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{x^{4}}{2} d x + \int \frac{5 x^{3}}{3} d x + \int - 2 x d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int x^{4} d x + \int \frac{5 x^{3}}{3} d x + \int - 2 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{5 x^{3}}{3} d x + \int - 2 x d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{5}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{5}{3} \int x^{3} d x + \int - 2 x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x d x$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 \int x d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} - 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{2 (- x^{2})}{2} + C$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{- x^{2}}{1} + C$

Этап 9.2.3.2.4

Разделим $- x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{5 x^{4}}{12} - x^{2} + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{10} x^{5} + \frac{5}{12} x^{4} - x^{2} + C$