Математический анализ Примеры

$\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $5$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $\frac{75}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{75}{2} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} (2 x)$

Этап 2.1.4.3

Объединим $2$ и $\frac{75}{2}$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 \cdot 75}{2} x$

Этап 2.1.4.4

Умножим $2$ на $75$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150}{2} x$

Этап 2.1.4.5

Объединим $\frac{150}{2}$ и $x$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150 x}{2}$

Этап 2.1.4.6

Сократим общий множитель $150$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $150 x$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2}$

Этап 2.1.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 (1)}$

Этап 2.1.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75 x}{1}$

Этап 2.1.4.6.2.4

Разделим $75 x$ на $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [75 x]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $2$ на $15$ .

$3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [75 x]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [75 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $75$ является константой относительно $x$ , производная $75 x$ по $x$ равна $75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \cdot 1$

Этап 2.2.3.3

Умножим $75$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 30 x + 75$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 30 x + 75$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 30 x + 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 30 x + 75 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $30 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (10 x) + 75 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $75$ .

$3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (10 x)$ .

$3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25$ .

$3 (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$3 (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 3.2.2.3

Перепишем многочлен.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$3 {(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим ${(x + 5)}^{2}$ на $1$ .

${(x + 5)}^{2} = \frac{0}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.5

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 5$ в $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot {(- 5)}^{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $4$ .

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot 625 + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $625$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 \cdot - 125 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $5$ на $- 125$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot 25$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $\frac{75}{2} \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

Объединим $\frac{75}{2}$ и $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75 \cdot 25}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.2

Умножим $75$ на $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{1875}{2}$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Запишем $- 625$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} + \frac{1875}{2}$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{- 625}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1875}{2}$

Этап 4.1.2.2.3

Умножим $\frac{- 625}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2}$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $\frac{1875}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.1.2.2.5

Умножим $\frac{1875}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{4}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 5) = \frac{625 - 625 \cdot 4 + 1875 \cdot 2}{4}$

Этап 4.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $- 625$ на $4$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 1875 \cdot 2}{4}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $1875$ на $2$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 3750}{4}$

Этап 4.1.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вычтем $2500$ из $625$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 + 3750}{4}$

Этап 4.1.2.5.2

Добавим $- 1875$ и $3750$ .

$f (- 5) = \frac{1875}{4}$

Этап 4.1.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1875}{4}$ .

$\frac{1875}{4}$

Этап 4.2

Подставляя $- 5$ в $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ , найдем точку $(- 5, \frac{1875}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 5, \frac{1875}{4})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 5)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = 3 {(- 5.1)}^{2} + 30 (- 5.1) + 75$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 5.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 5.1) = 3 \cdot 26.01 + 30 (- 5.1) + 75$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $26.01$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 + 30 (- 5.1) + 75$

Этап 6.2.1.3

Умножим $30$ на $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 - 153 + 75$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $153$ из $78.03$ .

$f'' (- 5.1) = - 74.97 + 75$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 74.97$ и $75$ .

$f'' (- 5.1) = 0.03$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.03$ .

$0.03$

Этап 6.3

При $- 5.1$ вторая производная имеет вид $0.03$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 5)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 5)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 5, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.9$ .

$f'' (- 4.9) = 3 {(- 4.9)}^{2} + 30 (- 4.9) + 75$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 4.9$ в степень $2$ .

$f'' (- 4.9) = 3 \cdot 24.01 + 30 (- 4.9) + 75$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $24.01$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 + 30 (- 4.9) + 75$

Этап 7.2.1.3

Умножим $30$ на $- 4.9$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 - 147 + 75$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $147$ из $72.03$ .

$f'' (- 4.9) = - 74.97 + 75$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 74.97$ и $75$ .

$f'' (- 4.9) = 0.03$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.03$ .

$0.03$

Этап 7.3

При $- 4.9$ вторая производная имеет вид $0.03$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 5, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 5, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. На графике нет точек, удовлетворяющих этим требованиям.

Нет точек перегиба