Математический анализ Примеры

$y = - 1 + 3 \sin (x - \frac{π}{4})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 1 + 3 \sin (x - \frac{π}{4})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (x - \frac{π}{4})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{4})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{4})]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - \frac{π}{4}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

Этап 1.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 + 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - \frac{π}{4}$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x - \frac{π}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]))$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]))$

Этап 1.2.5

Поскольку $- \frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) (1 + 0))$

Этап 1.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) \cdot 1)$

Этап 1.2.7

Умножим $\cos (x - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$0 + 3 \cos (x - \frac{π}{4})$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $3 \cos (x - \frac{π}{4})$ .

$3 \cos (x - \frac{π}{4})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x - \frac{π}{4})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x - \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x - \frac{π}{4}))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - 3 (\sin (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x - \frac{π}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

Этап 2.3.4

Поскольку $- \frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) \cdot 1$

Этап 2.3.5.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4})$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 \cos (x - \frac{π}{4}) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $3 \cos (x - \frac{π}{4}) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 \cos (x - \frac{π}{4}) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 \cos (x - \frac{π}{4})}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (x - \frac{π}{4})}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (x - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{0}{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$\cos (x - \frac{π}{4}) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x - \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.5.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 9.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 9.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 9.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Этап 9.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 π \cdot 2 + π}{4}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{6 π + π}{4}$

Этап 9.2.5.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 10

Решение уравнения $x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 3 \sin ((\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 \sin (\frac{3 π - π}{4})$

Этап 12.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$- 3 \sin (\frac{2 π}{4})$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$- 3 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

Этап 12.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Этап 12.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Этап 12.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 12.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 13

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin ((\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{3 π - π}{4})$

Этап 14.2.1.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{4})$

Этап 14.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

Этап 14.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Этап 14.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Этап 14.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 14.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \cdot 1$

Этап 14.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3$

Этап 14.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2$

Этап 14.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{7 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 3 \sin ((\frac{7 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 \sin (\frac{7 π - π}{4})$

Этап 16.2

Вычтем $π$ из $7 π$ .

$- 3 \sin (\frac{6 π}{4})$

Этап 16.3

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$- 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Этап 16.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Этап 16.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Этап 16.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 16.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.6

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 \cdot - 1$

Этап 16.6.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$3$

Этап 17

$x = \frac{7 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{7 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = \frac{7 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{4}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin ((\frac{7 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{7 π - π}{4})$

Этап 18.2.1.2

Вычтем $π$ из $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{6 π}{4})$

Этап 18.2.1.3

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Этап 18.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Этап 18.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Этап 18.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 18.2.1.4

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 18.2.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 18.2.1.6

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

Этап 18.2.1.6.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 - 3$

Этап 18.2.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 4$

Этап 18.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = - 1 + 3 \sin (x - \frac{π}{4})$ .

$(\frac{3 π}{4}, 2)$ — локальный максимум

$(\frac{7 π}{4}, - 4)$ — локальный минимум

Этап 20