Математический анализ Примеры

$1 + \sqrt{x}$

Этап 1

Запишем $1 + \sqrt{x}$ в виде функции.

$f (x) = 1 + \sqrt{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int \sqrt{x} d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + C + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x + C + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8

Упростим.

$x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 1 + \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$