Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1 - 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.7.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (0)}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \tan (0)}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \tan (0)}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Этап 1.1.3.6.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.6.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \cos (x) + \tan (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.5.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.5.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.5.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.5.4

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.5.5

Перенесем $5$ влево от $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Выразим $\sec (5 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.6.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.6.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.6.2.4

Объединим $5$ и $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $1 - \cos (x) - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.9.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.9.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.9.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 1.3.10.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 1.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 1.3.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 1.3.11.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 1.3.11.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы записать $\sin (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 1.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 1.4.3

Чтобы записать $\sin (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.6

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.9

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.10

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{{(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2}}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.12

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.13

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Этап 2.14

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Этап 2.15

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Этап 2.16

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Этап 2.17

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Этап 2.18

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Этап 2.19

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Этап 2.20

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

Этап 2.21

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 3.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{\frac{0 \cdot 1^{2} + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{0 \cdot 1 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{\frac{0 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.1.6

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{\frac{5}{1^{2}}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.3.4

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.3.6

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 4.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1^{2}}}$

Этап 4.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1}}$

Этап 4.5

Разделим $5$ на $1$ .

$\frac{5}{\frac{- 1}{1}}$

Этап 4.6

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5}{- 1}$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{5}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 5$

Этап 4.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5$