Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2} \cos (2 x)$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} \cos (2 x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (2 x)$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin (2 x)}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2.4

Разделим $- \sin (2 x)$ на $1$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sin (2 x)$