Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Этап 1

Пусть $x = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (x) = \ln (f (x))$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4}))$

Этап 2

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ в виде $\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4})$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Этап 2.2

Перепишем $\ln (e^{x} x^{3})$ в виде $\ln (e^{x}) + \ln (x^{3})$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x}) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Этап 2.3

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Этап 2.4

Развернем $\ln (x^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Этап 2.5

Развернем $\ln ({(x + 1)}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Этап 2.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x \cdot 1 + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Этап 2.7

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (f (x))$ , используя цепное правило.

$\frac{x'}{x} = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Этап 3.2.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

По правилу суммы производная $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Этап 3.2.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Этап 3.2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Этап 3.2.5.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (x + 1)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

Этап 3.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Этап 3.2.6.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Этап 3.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Этап 3.2.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Объединим $\frac{1}{x + 1}$ и $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 3.2.7.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 3.2.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 3.2.7.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + 0))$

Этап 3.2.7.5

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \cdot 1)$

Этап 3.2.7.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.5.2.1

Умножим $\frac{4}{x + 1}$ на $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1})$

Этап 3.2.7.5.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{x + 1})$

Этап 3.2.7.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1 + 4}{x + 1})$

Этап 3.2.7.5.4

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 5}{x + 1})$

Этап 3.2.8

Чтобы записать $\frac{3}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1})$

Этап 3.2.9

Чтобы записать $\frac{x + 5}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

Этап 3.2.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Умножим $\frac{3}{x}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

Этап 3.2.10.2

Умножим $\frac{x + 5}{x + 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{(x + 1) x})$

Этап 3.2.10.3

Изменим порядок множителей в $(x + 1) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{x (x + 1)})$

Этап 3.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \cdot \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$

Этап 3.2.12

Умножим $\frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)}$ на $\frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) (x (x + 1))}$

Этап 3.2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

Этап 3.2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

Этап 3.2.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Этап 3.2.13.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.13.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.13.4.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Этап 3.2.13.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x^{2} + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Этап 3.2.13.4.2

Добавим $3 x$ и $5 x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Этап 3.2.13.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.13.5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Этап 3.2.13.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x^{1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Этап 3.2.13.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1 + 1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Этап 3.2.13.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Этап 3.2.13.6

Изменим порядок членов.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

Этап 3.2.13.7

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.13.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

Этап 3.2.13.7.2

Вынесем множитель $x$ из $3 \ln (x) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + 4 \ln (x + 1) x)}$

Этап 3.2.13.7.3

Вынесем множитель $x$ из $4 \ln (x + 1) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

Этап 3.2.13.7.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (3 \ln (x))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

Этап 3.2.13.7.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)))}$

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

Этап 3.2.13.8

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

Этап 4

Изолируем $x'$ и заменим исходную функцию на $x$ в правой части.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Упростим $3 \ln (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Этап 5.1.1.2

Упростим $4 \ln (x + 1)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Этап 5.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Этап 5.2

Объединим $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ и $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ .

$x' = \frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $\frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ .

$x' = \frac{\ln (x^{3} e^{x} {(x + 1)}^{4}) (x^{2} + 8 x + 3)}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$