Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 5}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + 0}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $0 + 5 \cdot 0$ и $2 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (0) + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $2$ из $0 \cdot 5$ .

$\frac{2 (0) + 2 (0 \cdot 5)}{2 + 0}$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (0) + 2 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 + 0}$

Этап 8.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 0}$

Этап 8.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

Этап 8.1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

Этап 8.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

Этап 8.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{1 + 0}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $0$ на $5$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

Этап 8.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Этап 8.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 8.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0$