Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{- 4}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $- 2 x^{3}$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 x^{2}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 32$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ и $0$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{2}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $24$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64 x$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 64$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{- 4}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $- 2 x^{3}$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 x^{2}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 32$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $24 x^{2}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 64 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 64 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot 32 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 12 x)$ .

$- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x \cdot 32 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x (32)$ .

$- 2 x (x^{2} - 12 x + 32) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} - 12 x + 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $32$ , а сумма — $- 12$ .

$- 8, - 4$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 x ((x - 8) (x - 4)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 x (x - 8) (x - 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 5.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 x (x - 8) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 8, 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 8, 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 {(0)}^{2} + 48 (0) - 64$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 6 \cdot 0 + 48 (0) - 64$

Этап 9.1.2

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 48 (0) - 64$

Этап 9.1.3

Умножим $48$ на $0$ .

$0 + 0 - 64$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 64$

Этап 9.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$- 64$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{2}) + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

Этап 11.2.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 - 32 {(0)}^{2} - 5$

Этап 11.2.1.4

Умножим $8$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 32 {(0)}^{2} - 5$

Этап 11.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 32 \cdot 0 - 5$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 32$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 5$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Этап 11.2.2.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (0) = - 5$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 8$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 {(8)}^{2} + 48 (8) - 64$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- 6 \cdot 64 + 48 (8) - 64$

Этап 13.1.2

Умножим $- 6$ на $64$ .

$- 384 + 48 (8) - 64$

Этап 13.1.3

Умножим $48$ на $8$ .

$- 384 + 384 - 64$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 384$ и $384$ .

$0 - 64$

Этап 13.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$- 64$

Этап 14

$x = 8$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 8$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{4} + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot 4096 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot 4096 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4096$ .

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2048)) + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2048) + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (8) = - 1 \cdot 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2048$ .

$f (8) = - 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.4

Умножим $8$ на ${(8)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Умножим $8$ на ${(8)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1.1

Возведем $8$ в степень $1$ .

$f (8) = - 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (8) = - 2048 + 8^{1 + 3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.4.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (8) = - 2048 + 8^{4} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.5

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (8) = - 2048 + 4096 - 32 {(8)}^{2} - 5$

Этап 15.2.1.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (8) = - 2048 + 4096 - 32 \cdot 64 - 5$

Этап 15.2.1.7

Умножим $- 32$ на $64$ .

$f (8) = - 2048 + 4096 - 2048 - 5$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 2048$ и $4096$ .

$f (8) = 2048 - 2048 - 5$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $2048$ из $2048$ .

$f (8) = 0 - 5$

Этап 15.2.2.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (8) = - 5$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 {(4)}^{2} + 48 (4) - 64$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- 6 \cdot 16 + 48 (4) - 64$

Этап 17.1.2

Умножим $- 6$ на $16$ .

$- 96 + 48 (4) - 64$

Этап 17.1.3

Умножим $48$ на $4$ .

$- 96 + 192 - 64$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Добавим $- 96$ и $192$ .

$96 - 64$

Этап 17.2.2

Вычтем $64$ из $96$ .

$32$

Этап 18

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{4} + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f (4) = - \frac{1}{2} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Этап 19.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Этап 19.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $256$ .

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (128)) + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Этап 19.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 128) + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Этап 19.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (4) = - 1 \cdot 128 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Этап 19.2.1.3

Умножим $- 1$ на $128$ .

$f (4) = - 128 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Этап 19.2.1.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (4) = - 128 + 8 \cdot 64 - 32 {(4)}^{2} - 5$

Этап 19.2.1.5

Умножим $8$ на $64$ .

$f (4) = - 128 + 512 - 32 {(4)}^{2} - 5$

Этап 19.2.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = - 128 + 512 - 32 \cdot 16 - 5$

Этап 19.2.1.7

Умножим $- 32$ на $16$ .

$f (4) = - 128 + 512 - 512 - 5$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Добавим $- 128$ и $512$ .

$f (4) = 384 - 512 - 5$

Этап 19.2.2.2

Вычтем $512$ из $384$ .

$f (4) = - 128 - 5$

Этап 19.2.2.3

Вычтем $5$ из $- 128$ .

$f (4) = - 133$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 133$ .

$y = - 133$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$ .

$(0, - 5)$ — локальный максимум

$(8, - 5)$ — локальный максимум

$(4, - 133)$ — локальный минимум

Этап 21