Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ в виде $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Этап 3

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Этап 3.3

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Этап 3.4

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

Этап 3.5

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $\ln (8)$ и в $\ln (4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

$\ln (8)$ приблизительно равно $2.07944154$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

Этап 7.2

$\ln (4)$ приблизительно равно $1.38629436$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

Этап 7.3

Перепишем $\ln (8)$ в виде $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

Этап 7.4

Развернем $\ln (2^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

Этап 7.5

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

Этап 7.6

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Этап 7.7

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Этап 7.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Десятичная форма:

$0.20273255 \dots$