Математический анализ Примеры

$1959 \cdot e^{1959 x}$

Этап 1

Запишем $1959 \cdot e^{1959 x}$ в виде функции.

$f (x) = 1959 \cdot e^{1959 x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 1959 \cdot e^{1959 x} d x$

Этап 4

Поскольку $1959$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $1959$ из-под знака интеграла.

$1959 \int e^{1959 x} d x$

Этап 5

Пусть $u = 1959 x$ . Тогда $d u = 1959 d x$ , следовательно $\frac{1}{1959} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1959 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1959 x$ .

$\frac{d}{d x} [1959 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $1959$ является константой относительно $x$ , производная $1959 x$ по $x$ равна $1959 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1959 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1959 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $1959$ на $1$ .

$1959$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$1959 \int e^{u} \frac{1}{1959} d u$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{1959}$ .

$1959 \int \frac{e^{u}}{1959} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{1959}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{1959}$ из-под знака интеграла.

$1959 (\frac{1}{1959} \int e^{u} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{1959}$ и $1959$ .

$\frac{1959}{1959} \int e^{u} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $1959$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1959}{1959} \int e^{u} d u$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int e^{u} d u$

Этап 8.3

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$\int e^{u} d u$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $1959 x$ .

$e^{1959 x} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 1959 \cdot e^{1959 x}$ .

$F (x) =$ $e^{1959 x} + C$