Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x) + \tan (\frac{5 x}{2})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{5 x}{2})$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{5 x}{2})$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{5 x}{2})$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{5 x}{2})$

Этап 5

Вынесем член $\frac{5}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) + \tan (\frac{5}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\sin (2 \frac{π}{2}) + \tan (\frac{5}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\sin (2 \frac{π}{2}) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\sin (2 \frac{π}{2}) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Этап 7.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (π) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Этап 7.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (0) + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Этап 7.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + \tan (\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2})$

Этап 7.1.4

Умножим $\frac{5}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$0 + \tan (\frac{5 π}{2 \cdot 2})$

Этап 7.1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 7.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$0 + \tan (\frac{π}{4})$

Этап 7.1.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$0 + 1$

Этап 7.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$