Математический анализ Примеры

$\frac{x}{y^{3}} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d y} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{y^{3} x' - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{y^{3} x' - x (3 y^{2})}{y^{6}}$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{y^{3} x' - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3} x' - 3 x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3} x'$ .

$\frac{y^{2} (y x') - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)}{y^{6}}$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)$ .

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{6}}$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{6}$ .

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}}$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем числитель к нулю.

$y x' - 3 x = 0$

Этап 5.2

Решим уравнение относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$y x' = 3 x$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $y x' = 3 x$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $y x' = 3 x$ на $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{3 x}{y}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x}{y}$