Математический анализ Примеры

$\int (7 + t) \sqrt{t} d t$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (7 + t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2

Развернем $(7 + t) t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{1} t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Этап 2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Этап 2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 7 t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 4

Поскольку $7$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{\frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$7 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

$\frac{14 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{14}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$