Математический анализ Примеры

$\int (\frac{x^{6} + 5 x^{9} - 4}{x^{3}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{x^{6} + 5 x^{9} - 4}{x^{3}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{- 3} d x$

Этап 4

Развернем $(x^{6} + 5 x^{9} - 4) x^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{6} + 5 x^{9}) x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{6} x^{- 3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6 - 3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Этап 4.4

Вычтем $3$ из $6$ .

$\int x^{3} + 5 x^{9} x^{- 3} - 4 x^{- 3} d x$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{3} + 5 x^{9 - 3} - 4 x^{- 3} d x$

Этап 4.6

Вычтем $3$ из $9$ .

$\int x^{3} + 5 x^{6} - 4 x^{- 3} d x$

Этап 4.7

Изменим порядок $x^{3}$ и $5 x^{6}$ .

$\int 5 x^{6} + x^{3} - 4 x^{- 3} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{6} d x + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{6} d x + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$5 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{- 3} d x$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{7}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{- 3} d x$

Этап 10

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 \int x^{- 3} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 12.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{4}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

Этап 12.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{2}{x^{2}} + C$

Этап 12.4

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + C$