Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{4 + x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Этап 7

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + lim_{x \to 2} x^{2}}$

Этап 9

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + lim_{x \to 2} x^{2}}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Этап 12.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Этап 12.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Этап 12.1.4

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{4 + 2^{2}}$

Этап 12.1.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{4 + 2^{2}}$

Этап 12.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{4 + 2^{2}}$

Этап 12.1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{4 + 2^{2}}$

Этап 12.1.8

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{4 + 2^{2}}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Этап 12.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{0}{8}$

Этап 12.3

Разделим $0$ на $8$ .

$0$