Математический анализ Примеры

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ , $(0, - 3)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = - 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Этап 1.1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ в виде ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Этап 1.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Этап 1.1.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 3}$ и $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $3$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

Этап 1.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

Этап 1.3.7.2

Умножим $6$ на $9$ .

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $54$ и $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Этап 1.4.2.2

Объединим $\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ и $x$ .

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 0$ .

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $54$ на $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

Этап 1.6.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

Этап 1.6.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{1^{4}}$

Этап 1.6.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1}$

Этап 1.6.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $0$ и координаты заданной точки $(0, - 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $0 \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y + 3 = 0 \cdot x$

Этап 2.3.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$y + 3 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = - 3$

Этап 3