Математический анализ Примеры

$\ln (\sec (2 x) + 6 \tan (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (2 x) + 6 \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Этап 3.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Этап 4.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Этап 4.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \tan (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$ .

$(2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Этап 6.3

Умножим $2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ и $2$ .

$\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ и $\sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Этап 6.3.3

Объединим $\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ и $\tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Этап 6.4

Умножим $6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Объединим $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ и $6$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec^{2} (x)$

Этап 6.4.2

Объединим $\frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ и $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Этап 6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $2$ из $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Этап 6.6.2

Вынесем множитель $2$ из $6 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Этап 6.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))$ .

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x) + 3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$